Il calcolo delle derivate parziali riguarda la variazione di una funzione rispetto a una sola delle sue variabili indipendenti, mantenendo costanti le altre.
Una funzione f(x, y, ..., z), che dipende da più variabili, può avere diverse derivate parziali, ognuna corrispondente a una specifica variabile.
Concetto fondamentale
La derivata parziale è rappresentata dal simbolo ∂. Se prendiamo la funzione f(x, y), le sue derivate parziali sono individuate da:
- ∂f/∂x (variazione rispetto a x)
- ∂f/∂y (variazione rispetto a y)
Sono calcolate fissando una variabile e derivando rispetto all’altra, come se le restanti variabili fossero costanti.
Applicazione
Queste derivate sono fondamentali in diversi campi come la fisica, l’ingegneria e l’economia, poiché permettono di analizzare come una quantità dipendente si modifica in relazione a una sola delle sue cause.
Interpretazione
Interpretando geometricamente, la derivata parziale di f(x, y) rispetto a x rappresenta la pendenza della curva ottenuta sezionando il grafico di f con un piano parallelo all’asse x e passante per il punto di interesse.
Tabella delle notazioni comuni:
| Derivata | Notazione di Leibniz | Notazione di Lagrange | Notazione di Euler |
|---|---|---|---|
| Rispetto a x | ∂f/∂x | f’_x | D_x f |
| Rispetto a y | ∂f/∂y | f’_y | D_y f |
Fondamenti Matematici
Nello studio delle derivate parziali, la comprensione di alcuni concetti matematici di base è indispensabile.
Questi includono la familiarità con i limiti e la continuità, nonché i teoremi che costituiscono le fondamenta dell’analisi multivariata.
Limiti e Continuità
Nel calcolo delle derivate parziali, il concetto di limite è cruciale.
Si definisce il limite di una funzione multivariata quando i valori di essa si avvicinano indefinitamente a un certo punto.
La continuità di una funzione in un punto assicura che il valore della funzione si avvicini al valore del limite per punti che si avvicinano al punto in esame.
Per esempio, la funzione ( f(x, y) ) è continua in ( (a, b) ) se:
[ \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) = f(a, b) ]Esprimiamo queste proprietà mediante i seguenti notazioni e definizioni:
- Limite: ( \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) = L ) indica che per ogni ( \epsilon > 0 ), esiste un ( \delta > 0 ) tale che se ( 0 < \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2} < \delta ), allora ( |f(x, y) – L| < \epsilon ).
- Continuità: Una funzione ( f(x, y) ) è continua in ( (a, b) ) se è definito il limite per ( (x, y) \to (a, b) ) e ( \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) = f(a, b) ).
Teoremi Fondamentali
I teoremi fondamentali nel calcolo delle derivate parziali chiariscono sotto quali condizioni le funzioni possono essere derivate.
Due dei principali sono il Teorema di Schwarz e il Teorema del Differenziale Totale.
- Teorema di Schwarz (Scambio di Derivate Parziali): Questo teorema stabilisce che se una funzione ha derivate parziali secondarie continue in un punto, allora l’ordine di derivazione può essere scambiato.Formalmente, se ( f_{xy} ) e ( f_{yx} ) sono continue in un punto, allora ( f_{xy} = f_{yx} ).
- Teorema del Differenziale Totale: Afferma che se tutte le derivate parziali di primo ordine di una funzione sono continue in un intorno di un punto, la funzione è differenziabile in quel punto.Il differenziale totale di ( f ) in ( (a, b) ) è dato da:
Dove ( f_x ) e ( f_y ) sono le derivate parziali di ( f ) rispetto a ( x ) e ( y ), rispettivamente.
Definizioni e notazioni
Nello studio del calcolo differenziale, le derivate parziali sono uno strumento essenziale per analizzare le funzioni di più variabili.
Si considera una funzione ( f(x, y, …, z) ) che dipende da più variabili indipendenti. La derivata parziale di ( f ) rispetto a una di queste variabili si calcola tenendo costanti tutte le altre variabili.
Per indicare la derivata parziale di una funzione rispetto alla variabile ( x ), si utilizzano i seguenti simboli:
- ( \frac{\partial}{\partial x} f(x, y, …, z) ) o
- ( f_x(x, y, …, z) ).
Si adottano notazioni simili per le derivate rispetto alle altre variabili.
Ad esempio, ( \frac{\partial}{\partial y} f(x, y, …, z) ) o ( f_y(x, y, …, z) ) rappresentano la derivata parziale di ( f ) rispetto a ( y ).
Le regole per calcolare queste derivate parziali sono analoghe a quelle per le derivate di funzioni di una sola variabile, con l’aggiunta della necessità di mantener costanti le variabili non coinvolte nella differenziazione.
| Variabile | Notazione della derivata parziale |
|---|---|
| ( x ) | ( \frac{\partial}{\partial x} f ) o ( f_x ) |
| ( y ) | ( \frac{\partial}{\partial y} f ) o ( f_y ) |
| ( z ) | ( \frac{\partial}{\partial z} f ) o ( f_z ) |
Per funzioni di due variabili, si possono calcolare le derivate parziali seconde, che sono le derivate parziali delle derivate parziali. Sono indicate come segue:
- ( \frac{\partial^2}{\partial x^2} f ) per la seconda derivata parziale rispetto a ( x ),
- ( \frac{\partial^2}{\partial y^2} f ) per la seconda derivata parziale rispetto a ( y ),
- ( \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} f ) per la derivata parziale mista, prima rispetto a ( x ) e poi rispetto a ( y ).
Derivate parziali di primo ordine
Le derivate parziali di primo ordine rappresentano il tasso di cambiamento istantaneo di una funzione multivariabile rispetto a una sola delle sue variabili, mantenendo le altre costanti.
Per una funzione ( f(x, y) ), ad esempio, le derivate parziali di primo ordine saranno indicate con ( \frac{\partial f}{\partial x} ) e ( \frac{\partial f}{\partial y} ).
Calcolo: Per calcolare ( \frac{\partial f}{\partial x} ), si differenzia la funzione ( f ) rispetto a ( x ) trattando ( y ) come una costante. Analogamente, ( \frac{\partial f}{\partial y} ) si ottiene differenziando ( f ) rispetto a ( y ), trattando ( x ) come costante.
Esempio: Data la funzione ( f(x, y) = x^2y + 3xy + 2y ), le derivate parziali di primo ordine sono:
- ( \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y )
- ( \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3x + 2 )
Interpretazione geometrica: Graficamente, la derivata parziale di primo ordine rispetto a ( x ) corrisponde al piano tangente alla superficie definita dalla funzione ( f ) e parallelo all’asse delle ( x ). Similmente, quella rispetto a ( y ) è parallela all’asse delle ( y ).
Un punto importante da notare è che la presenza di derivate parziali di primo ordine non implica necessariamente la continuità della funzione in quel punto, ma indica la presenza di una pendenza istantanea lungo gli assi delle variabili.
Derivate parziali di ordine superiore
Le derivate parziali di ordine superiore si ottengono derivando le derivate parziali prime rispetto a un’altra variabile.
Queste derivate forniscono informazioni più dettagliate sul comportamento di una funzione multivariabile.
Derivate parziali di secondo ordine
La derivata parziale di secondo ordine di una funzione di due variabili, ( f(x, y) ), si denota con simboli come ( f_{xx} ), ( f_{yy} ).
- ( f_{xx} ) è la derivata seconda rispetto a ( x ) dopo aver derivato prima rispetto a ( x );
- ( f_{yy} ) è la derivata seconda rispetto a ( y ) dopo aver derivato prima rispetto a ( y ).
Queste derivazioni vengono eseguite mantenendo costante l’altra variabile in ciascun passaggio.
| Notazioni Comuni | Significato |
|---|---|
| ( f_{xx} ) | Derivata seconda di ( f ) rispetto a ( x ), con ( y ) costante. |
| ( f_{yy} ) | Derivata seconda di ( f ) rispetto a ( y ), con ( x ) costante. |
Derivate parziali miste
Le derivate parziali miste si riferiscono alle derivate secondarie attraverso l’ordine incrociato delle variabili. Nel caso di una funzione ( f(x, y) ), sono rappresentate come:
- ( f_{xy} ) è la derivata parziale di ( f ) prima rispetto a ( x ) e poi rispetto a ( y );
- ( f_{yx} ) è la derivata parziale di ( f ) prima rispetto a ( y ) e poi rispetto a ( x ).
Se la funzione ( f ) è continua e possiede derivate parziali continue in un punto o in un regione, allora ( f_{xy} ) e ( f_{yx} ) sono uguali in quel punto o regione, secondo il teorema di Schwarz.
| Notazioni Comuni | Significato |
|---|---|
| ( f_{xy} ) | Derivata parziale mista di ( f ) prima rispetto a ( x ) e poi a ( y ). |
| ( f_{yx} ) | Derivata parziale mista di ( f ) prima rispetto a ( y ) e poi a ( x ). |
Teorema di Schwarz
Il Teorema di Schwarz, noto anche come teorema della derivata mista seconda, è un principio fondamentale nel calcolo delle derivate parziali. Stabilisce che, per una funzione di più variabili che sia almeno due volte differenziabile, l’ordine delle derivate parziali miste è ininfluente sotto l’assunzione di continuità delle derivate seconde miste.
Esplicitamente, se si considera una funzione f(x, y) che è due volte continuamente differenziabile su un dominio aperto in ℝ², il teorema afferma che:
[ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} ]Il presupposto chiave è che le derivate parziali miste ∂²f/∂x∂y e ∂²f/∂y∂x siano continue in un punto o in un insieme.
Esempio: Se si ha una funzione f(x, y) = x²y³, allora calcare le derivate miste secondo il teorema di Schwarz:
- Deriva prima rispetto a x: ∂f/∂x = 2xy³
- Poi deriva rispetto a y: ∂²f/∂y∂x = 6xy²
Ripetendo in ordine inverso:
- Deriva prima rispetto a y: ∂f/∂y = 3x²y²
- Poi deriva rispetto a x: ∂²f/∂x∂y = 6xy²
Quindi, come previsto dal teorema di Schwarz, ∂²f/∂y∂x = ∂²f/∂x∂y.
Differenziabilità delle funzioni multivariate
La differenziabilità in funzioni di più variabili si estende dal concetto conosciuto per funzioni in una sola variabile. Definiamo una funzione multivariata f(x, y, …) come differenziabile in un punto se esiste un’approssimazione lineare che fornisce valori vicini a quelli della funzione per punti vicini al punto in questione.
Per funzioni di due variabili, f(x, y), la differenziabilità è descritta dalle derivate parziali prime, che rappresentano le pendenze della funzione lungo le direzioni degli assi coordinati. Queste derivate si denotano come ∂f/∂x e ∂f/∂y.
Ecco una tabella riepilogativa delle notazioni principali:
| Notazione | Significato |
|---|---|
| ∂f/∂x | Derivata parziale rispetto a x |
| ∂f/∂y | Derivata parziale rispetto a y |
| ∇f (nabla f) | Gradiente di f |
| Df(p) (Matrice) | Matrice jacobiana in p |
Una condizione necessaria, ma non sufficiente, per la differenziabilità è la continuità della funzione e delle sue derivate parziali nel punto. Tuttavia, una funzione con derivate parziali continue in un punto è differenziabile in quel punto. Questo concetto è conosciuto come il teorema di Schwarz.
In sintesi, la differenziabilità assicura che a piccole variazioni delle variabili corrispondano piccole variazioni del valore della funzione, rendendo possibile l’utilizzo delle derivate parziali per studiare il comportamento locale delle funzioni multivariate.
Il gradiente e direzioni di massima crescita
Il gradiente di una funzione di più variabili rappresenta un vettore che punta nella direzione del maggior tasso di aumento della funzione. Si denota comunemente con il simbolo ∇f·
Per una funzione f(x, y), il gradiente è calcolato come segue:
- La prima componente è la derivata parziale rispetto a x: (∂f/∂x)
- La seconda componente è la derivata parziale rispetto a y: (∂f/∂y)
In formule, il gradiente è espresso da:
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
Le direzioni di massima crescita di una funzione corrispondono alla direzione del gradiente calcolato in un dato punto. Si tratta della direzione in cui la funzione aumenta più rapidamente a partire da quel punto.
Caso concreto:
| Variabile | Derivata Parziale |
|---|---|
| ( x ) | ( ∂f/∂x ) |
| ( y ) | ( ∂f/∂y ) |
Se il gradiente in un punto è zero, ovvero ∇f = (0,0), il punto è un punto stazionario che può essere un massimo, un minimo o un punto di sella, a seconda della natura della funzione.
Il gradiente è sempre perpendicolare alle curve di livello della funzione in due dimensioni, ovvero alle curve che congiungono punti in cui la funzione assume lo stesso valore. Questa proprietà è utile nell’identificazione della direzione di massima crescita.
Applicazioni Fisiche e Ingegneristiche
Le derivate parziali trovano significativa applicazione negli ambiti della fisica e dell’ingegneria, dove la comprensione e la manipolazione di quantità variabili sono fondamentali.
Campi Vettoriali
In fisica, i campi vettoriali rappresentano la distribuzione spaziale di una grandezza vettoriale. Un esempio notevole è il campo elettrico, che può essere descritto attraverso le derivate parziali del potenziale elettrico. Calcolare la derivata parziale rispetto a ciascuna coordinata spaziale consente di ottenere le componenti del campo:
- Derivata parziale rispetto a ( x ): ( E_{x} = -\frac{\partial V}{\partial x} )
- Derivata parziale rispetto a ( y ): ( E_{y} = -\frac{\partial V}{\partial y} )
- Derivata parziale rispetto a ( z ): ( E_{z} = -\frac{\partial V}{\partial z} )
Analogamente, la meccanica dei fluidi utilizza le derivate parziali per descrivere i campi di velocità e pressione all’interno di un fluido in moto.
Ottimizzazione Multivariata
Nell’ingegneria, l’ottimizzazione multivariata è la ricerca del punto di massimo o minimo di una funzione che dipende da più variabili. Questo processo riveste particolare importanza nella progettazione e nell’analisi di sistemi. Utilizzando le derivate parziali, si determinano i punti stazionari della funzione, che sono candidati per essere punti di massimo o minimo locale.
Ecco un esempio di sistema di equazioni derivanti dalle derivate parziali di una funzione ( f(x, y) ):
- ( \frac{\partial f}{\partial x} = 0 )
- ( \frac{\partial f}{\partial y} = 0 )
I punti in cui entrambe le derivate parziali si azzerano possono indicare la presenza di un ottimo. Questo metodo è applicato in numerosi campi dell’ingegneria, come il design ottimale, l’analisi strutturale e la pianificazione delle risorse.
Metodo della catena per derivate parziali
Il metodo della catena per il calcolo delle derivate parziali è un’estensione della regola della catena per le funzioni di una singola variabile. Questo metodo è utilizzato quando una funzione dipende da altre funzioni, che a loro volta dipendono da più variabili.
Per esemplificare, si consideri una funzione ( z = f(u, v) ). Le funzioni ( u ) e ( v ) sono funzioni di ( x ) e ( y ).
La derivata parziale di ( z ) rispetto a ( x ), denotata come ( \frac{\partial z}{\partial x} ), si calcola come:
[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} ]Analogamente, la derivata parziale di ( z ) rispetto a ( y ) è:
[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} ]Procedura:
- Identificare la funzione esterna ( f(u, v) ) e le funzioni interne ( u(x, y) ), ( v(x, y) ).
- Calcolare le derivate parziali di ( f ) rispetto a ( u ) e ( v ).
- Calcolare le derivate parziali di ( u ) e ( v ) rispetto a ( x ) e ( y ).
- Applicare la regola della catena moltiplicando e sommando i risultati corrispondenti.
Importanza:
L’applicazione del metodo della catena per le derivate parziali è cruciale nell’analisi di sistemi con multiple variabili interdipendenti, come in fisica, ingegneria e scienze economiche. Questo strumento matematico permette di determinare la sensibilità di una variabile dipendente rispetto alle variazioni in una variabile indipendente, tenendo conto delle relazioni intermedie.
Derivate direzionali e vettore tangente
La derivata direzionale di una funzione in più variabili è una misura della variazione della funzione nella direzione di un dato vettore.
Si consideri una funzione (f(x, y)) e si supponga di voler trovare la derivata della funzione nella direzione del vettore ( \mathbf{u} = (u_1, u_2) ), che è normalizzato (cioè, ha lunghezza unitaria). La derivata direzionale è definita come:
[ D_{\mathbf{u}} f(x, y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h u_1, y + h u_2) – f(x, y)}{h} ]Questa misura corrisponde al tasso di variazione istantanea di (f) nel punto ((x,y)) nella direzione del vettore (\mathbf{u}).
Il vettore tangente è strettamente correlato ai concetti di derivata direzionale. In uno spazio a più dimensioni, il gradiente di (f), denotato come (\nabla f), è il vettore delle sue derivate parziali.
Il gradiente punta nella direzione del maggior tasso di aumento della funzione. Se si prende il prodotto scalare del gradiente di (f) con un vettore unitario (\mathbf{u}), si ottiene la derivata direzionale lungo (\mathbf{u}):
[ D_{\mathbf{u}} f(x, y) = \nabla f \cdot \mathbf{u} = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \cdot (u_1, u_2) ]Per un dato punto sulla superficie definita da (f(x, y)), il vettore tangente è perpendicolare al gradiente e giace sul piano tangente alla superficie in quel punto.
Ecco una sintesi delle relazioni fondamentali:
- Derivata direzionale: misura il cambiamento di (f) nella direzione di (\mathbf{u}).
- Gradiente: vettore delle derivate parziali, indica la direzione di maggiore crescita.
- Vettore tangente: perpendicolare al gradiente, giace sul piano tangente.
Esercizi pratici e applicati
I esercizi pratici sono essenziali per una comprensione solida del concetto di derivate parziali. Essi forniscono l’opportunità di applicare direttamente le teorie e migliorare le abilità di calcolo.
Esempio 1:
Calcolare la derivata parziale di prima ordine della funzione ( f(x, y) = x^2y + \sin(x)) rispetto a x.
- Calcolare la derivata di ( x^2y ) rispetto a x: ( 2xy ).
- Calcolare la derivata di ( \sin(x) ) rispetto a x: ( \cos(x) ).
- Sommare i risultati: ( 2xy + \cos(x) ).
Esempio 2:
Determinare la derivata parziale di ( g(x, y, z) = e^{xyz} + z\ln(y) ) rispetto a y.
- Derivata di ( e^{xyz} ) rispetto a y: ( xze^{xyz} ).
- Derivata di ( z\ln(y) ) rispetto a y: ( \frac{z}{y} ).
- Combinare i risultati per ottenere la derivata parziale: ( xze^{xyz} + \frac{z}{y} ).
Tabella delle derivate parziali comuni:
| Funzione | Variabile | Derivata Parziale |
|---|---|---|
| ( x^n ) | x | ( nx^{n-1} ) |
| ( e^x ) | x | ( e^x ) |
| ( \sin(x) ) | x | ( \cos(x) ) |
| ( \ln(x) ) | x | ( \frac{1}{x} ) |
| ( xy ) | x | y |
| ( xy ) | y | x |
Gli studenti dovrebbero esercitarsi con questi esempi e consultare la tabella per affinare la loro comprensione delle derivate parziali. L’applicazione di queste formule in contesti diversi aiuta ad acquisire familiarità con varie funzioni e le loro derivazioni rispetto a variabili specifiche.
