La varianza è una misura statistica che quantifica la dispersione dei valori di un insieme di dati rispetto alla loro media. Formalmente, è il valore medio dei quadrati delle differenze tra ogni dato e la media dell’insieme dei dati.

Questo calcolo permette di comprendere quanto i dati si diffondono rispetto alla media; valori di varianza più alti indicano una maggiore dispersione.

Formulazione matematica:

Data una serie di n valori ( x_1, x_2, …, x_n ), la varianza, indicata come ( \sigma^2 ), è calcolata utilizzando la formula:

dove ( \mu ) rappresenta la media aritmetica dei valori .

In contesti diversi, come, ad esempio, nella stima di parametri per popolazioni o campioni, la formula può subire delle modifiche per riflettere al meglio la realtà dei dati analizzati.

Nel caso di un campione di dati, si usa spesso la cosiddetta “varianza campionaria”, dove il denominatore diventa n-1 anziché n, per correggere il bias dovuto alle dimensioni finite del campione.

Impatto e utilizzo:

La varianza è fondamentale in diversi campi come la statistica, la probabilità, la finanza e le scienze sperimentali. Essa fornisce una base per ulteriori calcoli statistici, inclusa la deviazione standard.

La deviazione standard è la radice quadrata della varianza e offre una misura della dispersione che è nella stessa unità di misura dei dati originali.

Calcolo della varianza

Il calcolo della varianza è un’operazione statistica che quantifica la dispersione dei valori in un insieme di dati. La varianza misura quanto i numeri si discostano dalla media aritmetica del set.

Formula della varianza

La formula della varianza per un insieme di dati è espressa come:

Varianza (σ²) = ∑ (xᵢ – µ)² / N

dove:

• ∑ indica la sommatoria,
• xᵢ rappresenta ogni valore dell’insieme di dati,
• µ è la media aritmetica dei dati,
• N è il numero totale di valori nell’insieme.

Questa formula è utilizzata per calcolare la varianza di un’intera popolazione.

Varianza per dati campionari

Quando si lavora con un campione estratto da una popolazione più ampia, la formula della varianza si modifica leggermente per evitare il bias nei risultati. In questo caso, la formula è:

Varianza campionaria (s²) = ∑ (xᵢ – x̄)² / (n – 1)

• x̄ denota la media aritmetica del campione,
• n è il numero di osservazioni nel campione.

Questa formula usa n – 1 al posto di N per correggere la distorsione dovuta all’uso di una stima della media dal campione anziché il valore vero della popolazione.

Varianza per popolazione completa

Per calcolare la varianza di una popolazione completa, si assume che tutti i dati disponibili siano rappresentativi dell’intera popolazione. La formula impiegata per la popolazione completa è:

Varianza (σ²) = ∑ (xᵢ – µ)² / N

In questo contesto:

• N è l’ammontare totale di valori nella popolazione completa.

La differenza principale tra questa formula e quella per un campione è il denominatore, che non include la correzione di Bessel “n – 1”.

Esempi di calcolo della varianza

La varianza è una misura statistica che quantifica la dispersione dei dati intorno alla media. In questo contesto, analizzeremo due esempi: la varianza di un campione numerico e la varianza di dati categorici.

Varianza di un campione numerico

Supponiamo di avere un insieme di numeri che rappresenta, ad esempio, le età di un gruppo di individui: 24, 30, 21, 25, 29. Per calcolare la varianza di questo campione, seguiamo questi passi:

1. Calcolare la media del campione:
2. Sottrarre la media da ogni dato del campione e elevarlo al quadrato:
3. Sommare i risultati:
4. Dividere la somma per il numero di dati nel campione meno uno (varianza campionaria):

Quindi, la varianza del campione è:

La varianza del campione è 13.3.

Varianza di dati categorici

Per dati categorici, come il colore preferito di un gruppo di persone, la varianza non è calcolabile direttamente come per i dati numerici. Tuttavia, si può quantificare la variabilità assegnando un valore numerico ad ogni categoria e analizzando la frequenza di ciascuna.

Esempio:

Colore	Frequenza
Rosso	3
Blu	2
Verde	5
Giallo	4

Assegnando valore 1 a Rosso, 2 a Blu, 3 a Verde e 4 a Giallo, si calcolano media e varianza come segue:

1. Media ponderata:

   Dove:

   • è la varianza,
   • è il numero totale di osservazioni,
   • rappresenta ciascun valore del dataset,
   • è la media del dataset.

   Un valore di varianza alto indica che i dati sono molto dispersi rispetto alla media; al contrario, un valore basso indica che i dati sono più raggruppati vicino alla media.

   La varianza è particolarmente utile nella comparazione della dispersione in differenti dataset. È importante notare che la varianza ha le unità di misura al quadrato di quelle originali dei dati, il che può risultare controintuitivo per interpretare direttamente.

   Inoltre, attraverso l’analisi della varianza, si può comprendere l’affidabilità di un dato campione.

   Ad esempio, in un esperimento scientifico, una bassa varianza all’interno dei risultati del campione indicherebbe una maggiore precisione.

   Di seguito un esempio di interpretazione:

   Esempio di Interpretazione:

   • Set di dati A:
     • Media (μ): 50
     • Varianza (σ^2): 5
   • Set di dati B:
     • Media (μ): 50
     • Varianza (σ^2): 30

   In questo esempio, nonostante la media sia la stessa per entrambi i set di dati, la varianza più elevata di B suggerisce una maggiore variabilità dei valori attorno alla media rispetto a A.

   La varianza è un concetto fondamentale anche nel campo della finanza, dove viene usata per calcolare la volatilità di un investimento, un fattore chiave nella valutazione del rischio.

   Differenza tra varianza e deviazione standard

   La varianza e la deviazione standard sono entrambe misure di dispersione statistiche che si utilizzano per quantificare la variabilità o la diffusione di un set di dati.

   La varianza mostra la media dei quadrati delle differenze tra ciascun dato e la media del dataset.

   Deviazione standard, al contrario, è la radice quadrata della varianza e fornisce una stima della dispersione dei dati attorno alla media in unità originali.

   Mentre la varianza dà peso maggiore ai valori che sono più distanti dalla media, la deviazione standard esprime la dispersione in termini più facilmente interpretabili.

   Esempio di rappresentazione in una tabella:

   Misura	Descrizione	Unità di Misura
   Varianza	Media dei quadrati delle differenze dalla media.	Quadrati delle unità originali
   Deviazione Standard	Radice quadrata della varianza.	Unità originali

   Per calcolare la varianza, si elevano al quadrato gli scarti di ciascun dato dalla media aritmetica e si calcola la loro media.

   La formula della varianza (σ²) è:

   

   Mentre per ottenere la deviazione standard, si estrae la radice quadrata della varianza:

   

   È importante notare che la varianza può essere particolarmente grande per i dataset in cui le unità di misura sono di per sé elevate e non fornisce una misura immediata della dispersione rispetto alla scala dei dati. La deviazione standard, invece, essendo nella stessa unità di misura dei dati originali, è più intuitiva.

   Varianza in probabilità e statistica

   La varianza è una misura statistica che quantifica la dispersione dei valori in un set di dati. Essenzialmente, indica quanto i numeri differiscono dalla media (valore medio) del set.

   In termini formali, la varianza è la media degli scarti quadrati dalla media aritmetica.

   Per calcolare la varianza di un insieme X di n valori numerici {x1, x2, ..., xn} si procede nel seguente modo:

   1. Calcolo della media μ:

         

   2. Calcolo della somma degli scarti quadrati dalla media:

         

   3. Divisione per il numero di osservazioni per ottenere la varianza σ²:

         

   È importante distinguere tra la varianza del campione e la varianza della popolazione.

   Nella varianza del campione, la divisione avviene per n-1 anziché n, per correggere la distorsione dovuta alla stima con un campione.

   • Varianza del campione: 
   • Varianza della popolazione: [/latex] σ^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i – μ)^2 [/latex]

   La radice quadrata della varianza è nota come deviazione standard e fornisce una misura della dispersione che è nelle stesse unità dei dati originali. Questo permette una più facile interpretazione e confronto con i valori del set di dati.

   Inferenza statistica sulla varianza

   L’inferenza statistica si occupa di trarre conclusioni riguardo a una popolazione basandosi sui dati campionari.

   Con riferimento alla varianza, un parametro chiave che misura la dispersione dei dati intorno alla media, l’inferenza si concentra su stime e test ipotetici.

   Nell’ambito della stima della varianza, si distinguono due componenti principali:

   1. Stima Puntuale: Calcolo di un singolo valore, come lo stimatore non distorto della varianza, definito come s² = Σ(xi - x̄)² / (n - 1), dove:
      • xi rappresenta ogni valore del campione,
      • x̄ è la media campionaria,
      • n è la dimensione del campione.
   2. Intervallo di Confidenza: Determinazione di un intervallo entro il quale ci si aspetta che la varianza della popolazione si collochi, con un dato livello di confidenza.La formula per l’intervallo di confidenza per la varianza di una popolazione normalmente distribuita si basa sulla distribuzione chi-quadrato: dove:
      • χ² è il valore della distribuzione chi-quadrato.
      • α è il livello di significatività.

   Quando si effettuano test ipotetici sulla varianza, il test chi-quadrato è comunemente utilizzato.

   Lo scopo è determinare se esistono differenze significative tra la varianza campionaria e quella ipotizzata o tra le varianze di due gruppi.

   Si formula un’ipotesi nulla che viene confrontata con un’ipotesi alternativa per un test bidirezionale), e si calcola il valore del test come:

   

   L’ipotesi nulla sarà rifiutata o meno a seconda che il valore del test cada dentro o fuori da un intervallo critico definito dai valori della distribuzione chi-quadrato rispetto al grado di confidenza scelto.

   Condizioni d’uso della varianza

   La varianza è una misura statistica. Indica quanto i valori di un set di dati differiscano tra loro e dalla loro media. È uno strumento fondamentale nell’analisi dei dati.

   Deve essere utilizzato rispettando certe condizioni per garantirne l’efficacia e l’appropriata interpretazione.

   Prima di tutto, è essenziale che il set di dati sia quantitativo. La varianza si basa su valori numerici.

   Inoltre, la varianza è particolarmente utile quando i dati distribuiscono normalmente. Ma può essere applicata anche a distribuzioni diverse, consapevoli che in tali casi potrebbe fornire meno insight.

   Le seguenti sono considerazioni chiave per l’uso corretto della varianza:

   • Dimensione del campione: è preferibile avere un campione di grandi dimensioni per una stima più affidabile della varianza.
   • Outliers: valori anomali estremi possono distorcere la varianza, quindi potrebbe essere necessario esaminarli e trattarli separatamente.
   • Unità di misura: la varianza è espressa come il quadrato delle unità dei dati originali. Si deve fare attenzione quando si confrontano varianze di set di dati con diverse unità di misura.

   Condizione	Descrizione
   Dati quantitativi	I dati devono essere numerici per il calcolo della varianza.
   Distribuzione delle dati	È più indicativa per dati con distribuzione normale.
   Dimensione del campione	Un campione più grande conferisce maggiore affidabilità.
   Outliers	Valori anomali possono alterare significativamente il risultato.
   Unità di misura	Si deve stare attenti quando si confrontano varianze di differenti unità di misura.

   Importante: la radice quadrata della varianza è definita deviazione standard. Mentre la varianza fornisce una misura della dispersione dei dati al quadrato, la deviazione standard fornisce questo indicatore nella stessa unità di misura dei dati originali, rendendola spesso più interpretabile.

   Limitazioni della varianza

   La varianza, indicatore statistico di dispersione, quantifica quanto i valori di un set di dati si allontanano dalla media.

   Benché utile, presenta limitazioni significative.

   Non-normalità dei dati: In distribuzioni non normali, la varianza potrebbe non fornire informazioni utili sulla dispersione dei dati.

   Per esempio, in una distribuzione fortemente asimmetrica, la media e la varianza sono influenzate dai valori estremi, rendendo la varianza un parametro meno rappresentativo della variabilità generale.

   Dipendenza dalla scala di misura: La varianza è espressa al quadrato delle unità di misura dei dati.

   Ciò significa che confrontare la varianza tra set di dati con differenti scale può portare a conclusioni errate.

   Per ovviare a questa limitazione, si utilizza spesso lo scarto quadratico medio (deviazione standard), che è la radice quadrata della varianza e ha le stesse unità di misura dei dati originali.

   Sensibilità agli outlier: Valori estremamente alti o bassi, noti come outlier, possono distorcere significativamente la varianza.

   Questo perché la varianza dà un peso maggiore a valori lontani dalla media, elevandoli al quadrato.

   • Influence internazionale: La varianza non considera la struttura interna del set di dati.In presenza di sottogruppi con varianze diverse, la varianza totale non svela la presenza di tali gruppi.
   • Applicazioni pratiche: Nella pratica, la varianza elevata di un fenomeno può indicare instabilità o imprevedibilità, ma non fornisce informazioni dirette sulle cause.Ulteriori analisi sono necessarie per determinare i fattori che contribuiscono alla variabilità osservata.